Ok, ganz kurz zu Stata
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i.left_behind c. Remitt i.left_behind#c.Remitt
und
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i.left_behind##c.Remitt
sind identisch.
Lass mich die Notation im Modell verändern, und explizit Koeffizienten einführen, sodass die Interpretation direkt mitgedacht werden kann.
Es sei
i.left_behind (M)
c.Remitt_Member (Rm)
c.Remitt_Non_Member (Rn)
Dein Modellvorschlag lautet also
SWB = b0 + b1*Rm + b2*Rn + b3*M + b4*Rm*M + b5*Rn*M
In der Tat bildest Du damit alle gewünschten Gruppen ab
yMyR = b0 + b1 + b2 + b4
yMnR = b0 + b3
nMyR = b0 + b2
nMnR = b0
yMyR_but_not_sent_from_the_migrant = b0 + b2 + b3 + b5
Ich sehe da dennoch gewisse Probleme, von denen ich mir nicht sicher bin, wie gravierend sie sind. Zunächst bildest Du (ungewollt) eine weitere Gruppe mit dem Modell ab:
yMyR_not_sent_from_the_migrant_yMyR = b0 + b1 + b2 + b3 + b4 + b5
Hier stellst sich bereits die Frage, ob es diese Gruppe gibt, bzw. wie weit Du mit diesem Modell über die beobachteten Fälle extrapolierst.
Kern dieses und der weiteren Probleme, ist die Beziehung zwischen Rm, M und Rn, die u.A. besagt, dass aus Rm > 1 direkt M = 1 folgt. Das wirft die Frage nach der Interpretation des konditioanlen Effektes b1 auf. Wie interpretierst Du diesen Koeffizienten? Das wäre der Effekt eines Dollars Remittance, den ein Migrant schickt, für den Fall, dass es sich nicht um einen Migrationshaushalt handelt. Diese Konstellation ist nicht möglich.
Eine weitere frage, die sich in diesem Zusammehang stellt, ist die nach der Bedeutung des Unterschiedes zwischen b1 und b2. Da b1 nur für Migrantionshaushalte steht (vgl. vorheriges Argument) bildest die Differenz zwischen b1 und b2 doch bereist einen Teil des Interessierenden Effektunterschieds zwischen einem Dollar Remittance zwischen Migrationshaushalten und Nichtmigrationshaushalten ab, oder?
Direkt anschließend darf man fragen, was es denn mit b5 auf sich hat. Wieso sollte der Effekt von Remittances, die nicht von einem Migranten geschickt werden zwischen Migranten und Nichtmigrationshaushalten varrieren? Das wäre nur Konsequent aus der Logik der Übersetzung des "einfachen" Modells, in dem dieser Fall in die eine Wechselwirkung absorbiert wird. Aber ist das theoretisch sinnvoll?
Stata is an invented word, not an acronym, and should not appear with all letters capitalized: please write “Stata”, not “STATA”.